ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ (৫.৩)

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক ২০২৫) - গণিত বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ | - | NCTB BOOK

558

দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে :

১। হরগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
২। ভগ্নাংশের হর দিয়ে ল.সা.গু.কে ভাগ করতে হবে।
৩। হর দিয়ে ল.সা.গু.কে ভাগ করা হলে যে ভাগফল পাওয়া যাবে, সেই ভাগফল দ্বারা ঐ ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হবে।

যেমন, $\frac{x}{y}, \frac{a}{b}, \frac{m}{n}$ তিনটি ভগ্নাংশ, এদের একই হরবিশিষ্ট করতে হবে।

এখানে তিনটি ভগ্নাংশের হর যথাক্রমে y, b ও n এদের ল.সা.গু. = ybn

১ম ভগ্নাংশ $\frac{x}{y}$ এর হর y, y দ্বারা ল.সা.গু. ybn কে ভাগ করলে ভাগফল bn, এখন bn দ্বারা $\frac{x}{y}$ ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হবে।

$∴ \frac{x}{y} = \frac{x \times b n}{y \times b n} = \frac{x b n}{y b n}$

একইভাবে, ২য় ভগ্নাংশ $\frac{a}{b}$ এর হর b, b দ্বারা ল.সা.গু. ybn কে ভাগ করলে ভাগফল yn ।

$∴ \frac{a}{b}, \frac{a \times y n}{b \times y n}, \frac{a y n}{b y n}$

৩য় ভগ্নাংশ $\frac{m}{n}$ এর হর n, n দ্বারা ল.সা.গু. ybn কে ভাগ করলে ভাগফল yb.

$∴ \frac{m}{n}, \frac{m \times y n}{n \times y n}, \frac{m y n}{n y n}$

অতএব, $\frac{x}{y}, \frac{a}{b}$ ও $\frac{m}{n}$ এর সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ যথাক্রমে $\frac{x b n}{y b n},$ $\frac{a y n}{b y n}$ ও $\frac{m y n}{n y n}$

উদাহরণ ১। নিচের ভগ্নাংশ দুইটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর :

(ক) $\frac{16 a^{2} b^{3} c^{4} y}{8 a^{3} b^{2} c^{5} x}$ (খ) $\frac{a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a^{3} - b^{3})}{(a^{3} + b^{3}) (a^{4} b - b^{3})}$

সমাধান : (ক) প্রদত্ত ভগ্নাংশ $\frac{16 a^{2} b^{3} c^{4} y}{8 a^{3} b^{2} c^{5} x}$

এখানে, 16 ও 8 এর গ.সা.গু. হলো 8

$a^{2}$ ও $a^{3}$ '' '' '' $a^{2}$

$b^{3}$ ও $b^{2}$ '' '' '' $b^{2}$

$c^{4}$ ও $c^{5}$ '' '' '' $c^{4}$

$y$ ও x '' '' '' 1

$∴ 16 a^{2} b^{3} c^{4} y^{3}$ ও $8 a^{3} b^{2} c^{5} x$ এর গ.সা.গু. হলো $8 a^{2} b^{2} c^{4}$

$\frac{16 a^{2} b^{3} c^{4} y}{8 a^{3} b^{2} c^{5} x}$ এর লব ও হরকে $8 a^{2} b^{2} c^{4}$ দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় $\frac{2 b y}{a c x}$

$∴ \frac{16 a^{2} b^{3} c^{4} y}{8 a^{3} b^{2} c^{5} x}$ -এর লঘিষ্ঠ আকার হলো $\frac{2 b y}{a c x}$

(খ) প্রদত্ত ভগ্নাংশটি $\frac{a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a^{3} - b^{3})}{(a^{3} + b^{3}) (a^{4} b - b^{5})}$

এখানে, লব $= a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a^{3} - b^{3})$

$= a (a + b)^{2} (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

হর $= (a^{3} + b^{3}) (a^{4} b - b^{5})$

$= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) {b (a^{4} - b^{4})}$

$= b (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2})$

$= b (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) (a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})$

$= b (a + b)^{2} (a - b) (a^{2} + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})$

$∴$ লব ও হরের গ.সা.গু. $= (a + b)^{2} (a - b)$

প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লব ও হরকে $(a + b)^{2} (a - b)$ দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় $\frac{a (a^{2} + a b + b^{2})}{b (a^{2} + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})}$

$∴$ ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ রূপ $\frac{a (a^{2} + a b + b^{2})}{b (a^{2} + b^{2} / a^{2} - 0 b + b^{2})}$

উদাহরণ ২। এখানে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো $\frac{x}{x^{3} y - x y^{3}}, \frac{a}{x y (a^{2} - b^{2})}, \frac{m}{m^{3} n - m n^{3}}$

এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর $= x^{3} y - x y^{3}$

$= x y (x^{2} - y^{2})$

২য় ভগ্নাংশের হর $= x y (a^{2} - b^{2})$

৩য় ভগ্নাংশের হর $= - m^{3} n - m n^{3} = m n (m^{2} - n^{2})$

$∴$ হরগুলোর ল.সা.গু. $= x y (x^{2} - y^{2}) (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n$

অতএব, $\frac{x}{x^{3} y - x y^{3}} = \frac{x (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}{x y (x^{3} - y^{2}) (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}$

$\frac{a}{x y (a^{2} - b^{2})} = \frac{a (x^{2} - y^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}{x y (x^{2} - y^{2}) (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}$

এবং $\frac{m}{m^{3} n - m n^{3}} = \frac{x y m (x^{2} - y^{2}) (a^{2} - b^{2})}{x y (x^{2} - y^{2}) (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}$

$∴$ নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো $\frac{x (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}{x y (x^{2} - y^{2}) (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}, \frac{a (x^{2} - y^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}{x y (x^{2} - y^{2}) (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}$ ও $\frac{x y m (x^{2} - y^{2}) (a^{2} - b^{2})}{x y (x^{2} - y^{2}) (a^{2} - b^{2}) (m^{2} - n^{2}) m n}$

কাজ : সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর : ১। $\frac{x^{2} + x y}{x^{2} y}$ ও $\frac{x^{2} - x y}{x y^{2}}$ ২। $\frac{a - b}{a + 2 b}$ এবং $\frac{2 a + b}{a^{2} - 4 b}$